Dolda symmetrier av labyrinter från Antiken och Medeltiden

Original: http://www.math.stonybrook.edu/~tony/whatsnew/oct15/labyrinths.html

Publicerad version: http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2015-10

Platser som nämns i texten, med tillhörande datum. Karta över Medelhavet från Wikimedia commons.

Inledning

Den tradition av ritning labyrinter (mönster där en enda komplicerad väg leder från en anvisad plats till en annan) blomstrade i Medelhavsområdet, och sedan utanför, börjar verkligen i pre-historia och fram till Renässansen, då labyrinter blev ersatt av pussel mönster som de två platser som är givet, men vägen måste upptäckas, ibland bara mönster av den andra typen kallas “labyrinter”, men vanligtvis är de två ord som används synonymt. Syftet med denna kolumn är att påpeka att den stora majoriteten av labyrint mönster dela en topologisk symmetri, vilket visserligen inte är uppenbar, kan inte vara en tillfällighet.
Alla de labyrinter som nämns i denna kolumn, utom den första och den sista, är dokumenterad i Hermann Kern ‘ s encyklopedisk Genom Labyrinten: Mönster och Betydelser över 5000 År, Prestel, New York, 2000.

En labyrint tablet från Mesopotamien

ms3194-foto

Den Mesopotamiska labyrint tablett MS 3194. Bild med tillstånd av Jöran Friberg.

De svenska matematiska assyriologist Jöran Friberg publicerade nyligen en tablett MS 3194 från Schøyen samling. Exakt var och när denna tablett skrevs är inte känt, men enligt Friberg kan det mycket väl går tillbaka till de Gamla Babyloniska perioden, runt 1800 F.KR. Tabletten, skadad nära ena änden, mäter ungefär 10 x 11 cm. Jämförelse med en annan på samma sätt symmetrisk tablett (MS 4515) kan den saknade delen av mönstret för att beredas. Labyrinten har en öppning på varje sida, vägen från den ena till den andra går igenom hela mönstret.

ms3194 ms3194 roteras

Labyrinten på MS-3194 och samma, roteras 180∘.

Den rekonstruerade väggarna i labyrinten på MS-3194 utgör två sammanhängande delar, som visas här i svart och grått, som är topologiskt identiska (en liten, förmodligen oavsiktlig, avvikelse från identitet visas med streckade linjer), men roterad ett halvt varv ett med hänsyn till de övriga. Så har mönstret 180∘ roterande symmetri: rotation bytespunkter svart och grått, men lämnar labyrint oförändrad.

“Kretensiska labyrint” på en tablet från Pylos

pylos

Labyrint på en tablet från Kung nestors palats i Pylos.

Den äldsta säkert daterade labyrint design visas på baksidan av en redovisning tablett som finns i ruinerna av Kung nestors palats i Pylos, på den västra stranden av Grekland. Tabletten (7x5,7 cm) var bakade när slottet brann i 1200 BC. Designen på denna tablet kallas ofta den Kretensiska Labyrint. Det visas på mynt präglade i Knossos på Kreta under den 5: e århundradet F.KR. och senare, och representerade den legendariska Kung Minos labyrint där höll Minotaur.

kärnaDen Kretensiska labyrint verkar inte vara särskilt symmetrisk, men det finns ett par ledtrådar. Den första är kärnan, som visas här till vänster, från vilka mönster kan dras (på denna mycket tablet, enligt Kern, och även idag som ett spel i vissa delar av världen). Kärnan i sig är mycket symmetrisk, men att rita labyrinten, genom att systematiskt ansluta fria ändar design runt ena änden, som i nästa bild, verkar för att bryta symmetri helt. Den andra är i vilken ordning flera nivåer av labyrinten är passeras. Om de är numrerade från 0 (utanför) 8 (centrum) då vägen till centrum möter dem i den ordning som 032147658, som kan kontrolleras. Nu är denna nivå sekvensen har en symmetri av sin egen: om varje nummer n är ersatt av sina åtta komplettera 8−n sekvensen blir 856741320, som är den ursprungliga sekvensen läs bakåt.

Symmetri i nivå sekvens tyder på att det finns en symmetri som rör utsidan av labyrinten och centrum. Detta kan göras lättare att se genom att utvidga den centrala delen.

cretan3D

Den Kretensiska labyrint ritas med det centrala området förstoras, och sedan viks runt en kub i tre dimensioner.

Att utvidga den centrala delen visar symmetri mellan den centrala väggen och den yttre väggen, både som visas i rött här. Symmetrin kan endast göras geometriskt perfekt genom att deformera mönstret upp i tre dimensioner, så att den labyrint omfattar fyra väggar i en kub. Då, precis som i den Babyloniska exempel, en 180∘ rotation (här, om en axel som är vinkelrät mot skärmen) tar mönstret exakt till sig själv.

Labyrint mönster på vävstolen med vikter från Francavilla Marittima

francavilla3D

Labyrinten implicit i en vävstol vikt från Francavilla. Denna vikt var 14 cm hög och 14 cm bred vid basen.

Utgrävningar i ruinerna av den grekiska Akropolis i Francavilla Marittima i södra Italien gav ett stort antal vävstol vikter, många lager labyrithine mönster, som går tillbaka till den nionde, eller första halvan av det åttonde århundradet F.KR. Vad är det egentligen som dras på vikter är den väg genom en labyrint, vilket har lett till feltolkningar eftersom dessa poster inte är vettigt som labyrint väggar. Det finns flera mönster med olika antal nivåer, men de har alla 4-faldig rotationssymmetri. Detta innebär att de inte kan labyrinter strängt taget; dessutom har de ingen ingång eller utgång: var och en av de fyra vägar cirklar i all oändlighet genom design. Ändå, tillsammans med den symboliska kongruens av Ariadnes tråd med bruket av vävning, de har tydligt släktskap till den Kretensiska design, och de delar på ytterligare en “tredimensionell” 180∘ roterande symmetri när de dras på sidorna av en kub, som visas här. (Väggarna på vävstolen-vikt labyrinter med ett udda antal nivåer som här har två komponenter, som visas i blått och svart i denna illustration, som är utbytt av symmetri).

En Romersk mosaik labyrint i Coimbra

coimbra-foto

Mosaik labyrint, 1.50x1,40 m, första hälften av tredje århundradet E.KR., i Coimbra, Portugal. Fotografi av Jeff Saward, artighet av Labyrinthos.

Romarna lämnade mosaik golv i hela sitt imperium. Flera av dem har denna form av dekoration: fyra kopplade kopior av en Kretensisk stil, labyrint, med den första som är ansluten till utsidan och den sista till centrum. Anslutningen till legenden om Minotauren var ofta tydlig; det här framgår av bull ‘ s head i centrala utrymme.

coimbra3D

Analys av Coimbra labyrint.

Eftersom det inte finns en enda ingång och en enda avfart, labyrint kan inte ha den perfekta 4-faldig rotationssymmetri, men den har samma topologiska symmetri mellan inne och ute som den Kretensiska labyrint. Linda labyrint runt en kub som gör att denna symmetri att förverkligas av en 180∘-grad rotation runt en axel som är vinkelrät mot sidan. Här väggarna, minus den centrala avdelare visas i grönt, bilda två anslutna komponenter som är utbytt av symmetri.

Gotiska Katedralen Labyrinter

människor-chartres

Barn och turister upplever labyrinten i Chartres-Katedralen. Bild från Wikimedia Commons

Trots sina hedniska förening med Minotauren (vi vet att i Chartres det var en central mässing plack uttryckligen nämna anslutning), golv labyrinter var installerade i flera gotiska katedraler. Dessa labyrinter var tillräckligt stora, normalt 10 m över, så att man kunde gå längs vägen från ingången till centrum. Av dessa tre är det endast en i Chartres fortfarande finns kvar, de andra hade rivit upp under den 18-talet, eftersom vi veta att barnen och de turister som lockas var störande dyrkan.

chartres

Planen i Chartres labyrint, och dess utveckling i planet. Här och i andra analyser, för enkelhets skull, renad labyrint dras med två kopior av den centrala avdelare, och är inte visas inslaget om en kub. Den totala 180∘ roterande symmetri är fortfarande klart; det utbyte de blå och svarta delar av väggarna. Labyrint bild från Dubblett de Boisthibault, “Notice sur le Labyrinthe de la Cathédrale de Chartres,” Revue arkeologiska museet 2 437-447 (1851-52).

reims

Labyrinten i Reims Katedral, som förstörts i 1778, som har ändrats i de fyra hörnen (utan att ändra den övergripande topologi) för att ta bilder av arkitekterna katedralen. Topologi är inte samma sak som Chartres: vägen segment är olika, och den nya byter mönster på central avdelare har dem korsas i en helt annan ordning. Dock, som framgår av den framkallade bilden, Reims labyrint uppvisar också generellt 180∘ roterande symmetri. Labyrint bilden dras av Jacques Cellier i Françoys Merlin, Recherche de plusieurs singularités, 1587. Bibliothèque Nationale de France, manuskript tillgängligt via Gallica, f77recto.

sens
Labyrinten i Sens katedral som är den äldsta av de tre: byggandet av katedralen slutade runt 1180. Det förstördes 1768. Detta 1828 ritning signerad C. Belloc, från hemsida för Communauté des Communes du Sénonais, visar att Sens labyrint var topologiskt olika både från Staden och från Reims (segmenten är samma som Chartres men att byta mönster inte är). Den framkallade bilden visar att denna labyrint hade också det övergripande 180∘ “dolda” rotationssymmetri. Kredit: Carte postale, CEREP-Société arkeologiska museet de Sens.

Den allmänt accepterade idén om hur Sens labyrint var organiserat är inte samma sak som denna. Kern, Matthews, och de flesta labyrint webbplatser ger en olika plan, som inte har dolda symmetri. En plats där det har rapporterats (förmodligen) rätt Jacques Hébert Den Medeltida Labyrint. Hébert sysselsätter ett annat kriterium, baserat på vad han kallar “rytmiska struktur”, som verkar vara likvärdiga: de åtta “canonical labyrinter” han illustrerar (av vilka tre är de enda historiska exempel) uppvisar generellt 180∘ dold rotationssymmetri.