Linje tangenterna till fyra trianglar

link: http://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/4triangles/index.html

H. Brönnimann, O. Devillers, S. Lazard, och F. Sottile

Vi anser att följande enkla geometriska fråga: Vad är det högsta antalet linjer som är tangent till fyra trianglar? (Det är, vi räknar rader som uppfyller en kant från varje triangel.) För enkelhetens skull antar vi att trianglarna är i en lämplig ställning i övrigt, i den algebraiska avkoppling där vi byter ut kanterna genom att stödja linjer har bara finitely många lösningar. (I själva verket 162 distinkta complex – lösningar.)

Vi be om största möjliga antal, eftersom den minsta är noll: Om fyra trianglar är tillräckligt långt ifrån varandra, säger vid de fyra hörnen av ett mycket stort rum, då blir det ingen sådan gemensam transversals.

För närvarande är det bästa svaret på denna fråga är att det maximala antalet är mellan 62 och 162, med en övre gräns på 156 om trianglar är disjunkta. Den övre gränsen är nästan säkert inte den bästa möjliga, och vi tvivlar också optimalitet av den nedre gränsen. Denna nedre gräns är på grund av att en konstruktion som vi beskriver i den här sidan (kopplad till bilden nedan till höger). Denna konstruktion innebär störande fyra segment med 2 gemensamma transversals, och var och en av de resulterande trianglar har en extremt liten vinkel – de är ganska tunna. Våra bästa konstruktion som omfattar fyra fett trianglar har 40 gemensamma transversals. En beskrivning av datorn sökning som vi använde för att hitta detta exempel är kopplade till bilden till vänster nedan, samt animeringar.

Denna WWW-sida följer vår artikel om detta ämne, På antalet linje tangenterna till fyra trianglar i tre-dimensionell rymd.
De bilder som är kopplade till ytterligare diskussion

Animationer: 841 kB 2100 kB 4198 kB.  Animationer: 86 kB 215 kB. 526 kB.

Baserade på arbete stöds av National Science Foundation i KARRIÄR Bevilja DMS-0134860.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *